符号函数sign的期望是多少

符号函数sign(x)是一个常见的数学函数，它的定义如下：

当x>0时，sign(x)=1；

当x=0时，sign(x)=0；

当x<0时，sign(x)=-1。

对于任意实数x，符号函数sign(x)的取值只有三种可能，即1、0、-1。因此，我们可以询问：符号函数sign的期望是多少？

为了回答这个问题，我们需要计算符号函数sign(x)在整个实数轴上的积分。具体地说，我们可以将符号函数sign(x)表示为两个阶梯函数之差：

sign(x) = H(x) - H(-x)

其中，H(x)是一个阶梯函数，它在x=0处跃升1个单位，其他位置上取值为0。因此，H(x)的图像如下所示：

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https://www.easiu.com/common/images/KcwxSSqsvK_3.jpg

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0

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类似地，H(-x)也是一个阶梯函数，它在x=0处跃降1个单位，其他位置上取值为0。因此，H(-x)的图像如下所示：

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0

将这两个函数相减，我们得到符号函数sign(x)的图像：

1

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0

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-1

因此，符号函数sign(x)在整个实数轴上的积分可以表示为：

∫(-∞,∞) sign(x)dx = ∫(-∞,∞) H(x)dx - ∫(-∞,∞) H(-x)dx

根据积分的定义，我们可以将上式转化为两个积分的形式：

∫(-∞,∞) sign(x)dx = lim_ ∫(a,∞) H(x)dx - lim_ ∫(b,∞) H(-x)dx

其中，a和b是两个正的小量，它们的作用是让积分的下限从负无穷变为有限值。

现在，我们可以计算上式的两个积分了。具体地说，我们有：

∫(a,∞) H(x)dx = ∫(0,∞) H(x)dx - ∫(0,a) H(x)dx

由于H(x)在整个实数轴上的积分等于1，所以上式的第一个积分为1。而第二个积分可以表示为a，因为H(x)在[0,a]上的取值为1，积分结果为a。因此，我们得到：

∫(a,∞) H(x)dx = 1 - a

类似地，我们有：

∫(b,∞) H(-x)dx = ∫(-∞,-b) H(-x)dx = b - 1

将上述结果代入符号函数sign(x)的积分式中，我们得到：

∫(-∞,∞) sign(x)dx = lim_ (1 - a) - lim_ (b - 1) = 1

因此，符号函数sign(x)的期望等于1。这意味着，如果我们随机从符号函数sign(x)的取值中选择一个数，那么它有1的概率等于1，有1的概率等于-1，而取值为0的概率为0。